数与运算 · 有理数

认识有理数

你一直在用的数

从1，2，3开始，我们开始了数学之旅，因为他们都是大自然中存在的，所以我们叫他们自然数，后来一个蛋糕分给全家人吃的问题让我们认识了分数，比如14\frac{1}{4}，{此处为内容占位引入小数}，我们认识了小数，比如3.1415。

哦，差点忘了表示什么都没有的 00。00是一个非常特别的数字，因为他表示什么都没有，{此处有待优化}

我们学习过数字的比大小，那么你有没有发现，我们目前为止所学习的数字最小的是哪个？

是的，就是00。

那么还有 数字比00还小吗？

是的，还有。

记账遇到的麻烦

打开家长的手机银行看账单，同一笔数量的钱会出现两种写法：进来 5050 元，记作 +50.00+50.00；出去 5050 元，记作 −50.00-50.00。

温度也是：零上 55 度记作 55，零下 55 度呢？要是也只写 55，"零下"就丢了——丢掉的恰恰是最要紧的信息：方向。

问题不在数本身，而在记录：55 度与零下 55 度、赚 5050 与欠 5050，数量一样、意义相反。只用"有多少"的数，我们记不下世界的另一半。

电梯按钮上的 B1、B2 干的是同一件事：给"地面以下"一个正式名分。

新的数家族：有理数

给相反方向一个记号的办法，就是让数带上负号：−5-5、−50-50。这个扩张出来的新家族，名字就叫有理数。

先记住一个直觉画像，不用背定义：

有理数是"带方向的数"。55 可以是向前走 55 步，−5-5 就是向后走 55 步。

它严格来说是什么、家族内部怎么分类，本章后面的课会一课一课把地图画全。今天你只要知道：它来补的是"记不下方向"这个缺口。

名字里的出身

顺带一个冷知识：有理数的英文是 rational number，而 rational 的本义其实是 ratio（比）——这名字在早年翻译中将错就错，并不是"有道理的数"。这位主角和"比"有怎样的亲缘关系，你现在还看不出来；没关系，后面某节课你会再次撞见这条线索。

这次扩张补了什么

封闭性

一个数家族做某种运算，结果永远还在这个家族里，就说这个家族对这种运算封闭——像一口锅，怎么翻炒都不会把菜甩到锅外。

数家族加减乘除
自然数在锅里甩出锅外：3−53-5 数不出在锅里甩出锅外：1÷21 \div 2 不是自然数
有理数（负数、分数都进来之后）在锅里在锅里在锅里在锅里（只有一条小规矩：除数不能是 00）

回头再看：负数是为"记方向"进场的，却顺手把四口锅都补圆了——在有理数家里，加、减、乘、除怎么算都算不出家族之外。这是数学家事后才看清的收获，也是这一章值得认真学的理由。

这一章的地图

接下来的五课，沿着一条线走：

  1. 正数和负数 —— 负号的真面目：−5-5 里的"−"和 5−35 - 3 里的"−"，长得一样，意思相同吗？
  2. 数轴与相反数 —— 数能住进一条直线吗？−5-5 和 55 是什么关系？
  3. 绝对值 —— "离起点的距离"怎么变成数的大小标签？两个负数怎么比大小？
  4. 有理数的加减法 —— 带着方向的数怎么相加？小学的加法法则还够用吗？
  5. 有理数的乘除与乘方 —— 负负为什么得正？这一次不背口诀，自己发现。
信息

每一课都不要求你一口气学会，只要求你带着上一课末尾的问题来。一章的距离，五步刚好。

出发前留一个问题

反思

开学小调查，不查资料、不问别人：你猜 (−2)×(−3)(-2) \times (-3) 等于 66 还是 −6-6？更重要的是，把你"凭什么这么猜"的一句话理由记下来。第 5 课你会亲手发现规律，到那天再回头看今天的理由，一定很有意思。

零下五度有了记法，欠的钱和赚的钱分得清了。从今天起，你的数家族补齐了另一半——欢迎认识有理数。