一元二次方程的解法

一元二次方程有多种解法，掌握这些方法可以灵活应对不同类型的问题。

1. 直接开平方法

适用于形如 $x² = p$ 或 $(ax + b)² = p$ 的方程。

例：解方程 $x² = 9$

$x = \pm \sqrt{9} = \pm 3$

$x₁ = 3, \quad x₂ = -3$

通过配方将方程化为完全平方形式，再用直接开平方法求解。

步骤：

例：解方程 $x² + 6x - 7 = 0$

移项：

$x² + 6x = 7$

配方（加 9）：

$x² + 6x + 9 = 7 + 9$

$(x + 3)² = 16$

$x + 3 = \pm 4$

$x = -3 \pm 4$

$x₁ = 1, \quad x₂ = -7$

对于任何一元二次方程 $ax² + bx + c = 0$ $(a \neq 0)$ ：

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b² - 4ac}}{2a}$

例：解方程 $2x² - 4x - 6 = 0$

$a = 2, b = -4, c = -6$

$\Delta = (-4)² - 4 \times 2 \times (-6) = 16 + 48 = 64$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{4} = \frac{4 \pm 8}{4}$

$x₁ = 3, \quad x₂ = -1$

将方程左边分解为两个一次因式的乘积，利用"若 $ab = 0$ ，则 $a = 0$ 或 $b = 0$ "求解。

常用方法：

例 1：解方程 $x² - 5x + 6 = 0$

十字相乘法：

$(x - 2)(x - 3) = 0$

$x - 2 = 0 \text{ 或 } x - 3 = 0$

$x₁ = 2, \quad x₂ = 3$

例 2：解方程 $x² - 9 = 0$

平方差公式：

$(x + 3)(x - 3) = 0$

$x₁ = -3, \quad x₂ = 3$