求根公式与判别式

1. 求根公式的推导

对于一元二次方程 $ax² + bx + c = 0$ $(a \neq 0)$ ，我们通过配方法推导求根公式。

推导过程：

$ax² + bx + c = 0$

两边同除以 $a$ ：

$x² + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$

配方：

$x² + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)² = \left(\frac{b}{2a}\right)² - \frac{c}{a}$

$\left(x + \frac{b}{2a}\right)² = \frac{b² - 4ac}{4a²}$

当 $b² - 4ac \geq 0$ 时：

$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b² - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b² - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b² - 4ac}}{2a} \quad (a \neq 0, \; b² - 4ac \geq 0)$

这个公式叫做一元二次方程的求根公式。

令 $\Delta = b² - 4ac$ ， $\Delta$ 称为方程的判别式。

例 1：不解方程，判断根的情况

(1) $x² - 5x + 6 = 0$

$\Delta = (-5)² - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1 > 0$

有两个不相等的实数根

(2) $x² - 4x + 4 = 0$

$\Delta = (-4)² - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = 0$

有两个相等的实数根

(3) $x² + x + 1 = 0$

$\Delta = 1² - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3 < 0$

无实数根

例 2：用公式法解方程 $2x² - 5x - 3 = 0$

解： $a = 2, b = -5, c = -3$

$\Delta = (-5)² - 4 \times 2 \times (-3) = 25 + 24 = 49 > 0$

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \times 2} = \frac{5 \pm 7}{4}$

$x₁ = \frac{5 + 7}{4} = 3, \quad x₂ = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}$