一元二次方程练习题

一、基础练习

1. 判断下列方程是否为一元二次方程

(1) $3x² - 2x + 1 = 0$

(2) $x³ + x = 0$

(3) $\frac{1}{x²} + x = 2$

(4) $2x² - 5 = 0$

2. 指出下列方程各项的系数

(1) $2x² + 3x - 7 = 0$

(2) $x² - 4x = 0$

(3) $5x² - 1 = 0$

二、解方程

3. 用直接开平方法解方程

(1) $x² = 25$

(2) $(x - 2)² = 9$

4. 用配方法解方程

(1) $x² + 4x - 5 = 0$

(2) $2x² - 8x + 6 = 0$

5. 用公式法解方程

(1) $x² - 3x + 2 = 0$

(2) $3x² + 5x - 2 = 0$

6. 用因式分解法解方程

(1) $x² - 7x + 12 = 0$

(2) $x² - 16 = 0$

(3) $2x² - 5x + 2 = 0$

三、判别式练习

7. 不解方程，判断根的情况

(1) $x² - 6x + 9 = 0$

(2) $2x² + 3x + 5 = 0$

(3) $x² + x - 1 = 0$

四、应用题

8. 几何应用

一个直角三角形的两条直角边相差 2 cm，斜边长为 10 cm，求两条直角边的长度。

9. 运动问题

一辆汽车以 30 m/s 的速度行驶，司机紧急刹车，汽车滑行的距离 $s$（米）与时间 $t$（秒）的关系为 $s = 30t - 5t²$。问汽车滑行多远后停止？

10. 面积问题

用一根长 28 cm 的铁丝围成一个矩形，要使面积为 48 cm²，求矩形的长和宽。

参考答案

第 1 题：

• (1) 是
• (2) 否（三次方程）
• (3) 否（分式方程）
• (4) 是

第 3 题：

• (1) $x = \pm 5$
• (2) $x₁ = 5, x₂ = -1$

第 5 题：

• (1) $x₁ = 1, x₂ = 2$
• (2) $x₁ = \frac{1}{3}, x₂ = -2$

第 6 题：

• (1) $x₁ = 3, x₂ = 4$
• (2) $x₁ = 4, x₂ = -4$
• (3) $x₁ = 2, x₂ = \frac{1}{2}$

第 7 题：

• (1) $\Delta = 0$，两相等实根
• (2) $\Delta = -31 < 0$，无实根
• (3) $\Delta = 5 > 0$，两不等实根

第 8 题：设短直角边为 $x$ cm，则 $x² + (x + 2)² = 100$，解得 $x = 6$，两直角边为 6 cm 和 8 cm。

第 10 题：设长为 $x$ cm，则 $x(14 - x) = 48$，解得 $x = 8$ 或 $x = 6$，长为 8 cm，宽为 6 cm。